Fractionnons un nombre décimal avec une suite répétitive illimitée...

Partons de cet exemple : 5.113636363636... qui équivaut à 511/102 suivi de la séquence 36.

Soit N = 511, la partie non répétée ;
Soit b = 2, le nombre de chiffre après la virgule représenté par 11 ;
Soit r = 36, la séquence ;

Soit a = 2, le nombre de chiffre composant r qui s'obtient par : 

           a = [log10(r)]+1

Démonstration : fractionner une suite répétitive 

           x = 0,3636363636...
       102.x = 36,3636363636... donc
       102.x = 36 + x
   102.x - x = 36
   x.(102-1) = 36 ou encore
   x.(10a-1) = r
                 r
           x = -----
               10a-1

Le nombre originel peut donc être représenté par :

                   N      r.10-b       (10a-1).N + r        X
       Nombre =  ----- + --------  =  ---------------  =  -----
                  10b      10a-1        (10a-1).10b         Y

Réduction de la fraction (si possible) :

  1. Prenons A = X   et   B = Y.
  2. Tant que le reste de la division de A par B est supérieur à 1, A devient B et B prend la valeur du reste. On repart au point 2.
  3. Si le reste est égal à 1, la fraction X par Y n'est pas réductible... Tant pis, on aura essayé !
  4. Si le reste est nul, alors B est le PGCD. Diviser X et Y par B pour simplifier la fraction.
            
- Thierry Loiseau - dernière mise à jour : dimanche 25 décembre 2016